事業継承したものの、社員から「社長」と呼ばれず、古参社員から「坊ちゃん」、「若」と呼ばれてしまう。
先代に功績が大きければなおさらですね。これはある意味、仕方がないかも知れないが、
これを払拭するには、これは業績、効果を挙げることに尽きます。

二代目社長の発案でのプロジェクト、新事業開拓のように、直接的に売上に繋がり目に見える物が良いでしょう。
IT導入のような効率向上はあまり眼に見えませんし、むしろ、IT嫌いの古参社員からは協力が得られないこともあります。
(そんな時代ではないのですが)

社外の相談役に相談するのも良いでしょう。
少なくとも、「新しい風」を吹き込み、「新社長の時代」を感じられる職場環境も必要でしょう。
例えば、オフィス移転等も有効化も知れません。